Analysis Beispiele

$\tan (3 x + y) = 3 x$ , $(0, 0)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\tan (3 x + y)) = \frac{d}{d y} (3 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \tan (y)$ und $g (y) = 3 x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + y$ .

$\sec^{2} (3 x + y) \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Forme um.

$0 + 0 + \sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x') + \sec^{2} (3 x + y) \cdot 1 = 3 x'$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y) \cdot 1 = 3 x'$

Schritt 5.1.1.4.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (3 x + y)$ mit $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y) = 3 x'$

Schritt 5.1.1.4.3

Stelle die Faktoren in $3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y)$ um.

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) = 3 x'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $3 x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' = 0$

Schritt 5.2.2

Bewege $- 3 x'$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 x'$ aus $3 x' \sec^{2} (3 x + y)$ heraus.

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $3 x'$ aus $- 3 x'$ heraus.

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + 3 x' \cdot - 1 + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $3 x'$ aus $3 x' \sec^{2} (3 x + y) + 3 x' \cdot - 1$ heraus.

$3 x' (\sec^{2} (3 x + y) - 1) + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Schritt 5.2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$3 x' \tan^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $\sec^{2} (3 x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$ durch $3 \tan^{2} (3 x + y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$ durch $3 \tan^{2} (3 x + y)$ .

$\frac{3 x' \tan^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x' \tan^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' \tan^{2} (3 x + y)}{\tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan^{2} (3 x + y)$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \tan^{2} (3 x + y)}{\tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{\sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Schritt 7

Ersetze $x$ durch $0$ und $y$ durch $0$ in dem Ausdruck.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (3 (0) + 0)}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.1

Entferne die Klammern.

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (3 (0) + 0)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (0 + 0)}$

Schritt 8.3

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (0)}$

Schritt 8.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \cdot 0^{2}}$

Schritt 8.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \cdot 0}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{0}$

Schritt 8.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert