Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{(1 - \sin^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 4

Wandle von $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ nach $\cot^{2} (x)$ um.

$\int \cot^{2} (x) d x$

Schritt 5

Schreibe $\cot^{2} (x)$ in $- 1 + \csc^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$- x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$- x + C - \cot (x) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$- x - \cot (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x - \cot (x) + C$