Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 108$ .

$\frac{(x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 108) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 108$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 108) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 108$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Da $108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $108$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $108$ .

$\frac{2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{216 x + 0}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.2.2

Addiere $216 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $216$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$ nach $x$ gleich $216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$ .

$216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$

Schritt 2.2.2

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 108)}^{2}$ mit $1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 108$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 (x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 108$ aus ${(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 108$ aus ${(x^{2} + 108)}^{2}$ heraus.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 108$ aus $- 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ heraus.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 108$ aus $(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))$ heraus.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Schritt 2.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 108$ aus ${(x^{2} + 108)}^{4}$ heraus.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 108$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.9

Da $108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $108$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$216 \frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.16

Kombiniere $216$ und $\frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{216 (- 3 x^{2} + 108)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.17

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{216 (- 3 x^{2}) + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.17.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $216$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.2.2

Mutltipliziere $216$ mit $108$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.17.3.1

Faktorisiere $648$ aus $- 648 x^{2} + 23328$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.17.3.1.1

Faktorisiere $648$ aus $- 648 x^{2}$ heraus.

$\frac{648 (- x^{2}) + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.3.1.2

Faktorisiere $648$ aus $23328$ heraus.

$\frac{648 (- x^{2}) + 648 (36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.3.1.3

Faktorisiere $648$ aus $648 (- x^{2}) + 648 (36)$ heraus.

$\frac{648 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.3.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{648 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.3.3

Stelle $- x^{2}$ und $6^{2}$ um.

$\frac{648 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 6$ und $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$648 (6 + x) (6 - x) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$6 + x = 0$

$6 - x = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $6 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Setze $6 + x$ gleich $0$ .

$6 + x = 0$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 3.3.3

Setze $6 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Setze $6 - x$ gleich $0$ .

$6 - x = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $6 - x = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 6$

Schritt 3.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$x = 6$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $648 (6 + x) (6 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 6, 6$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $- 6$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{36 + 108}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $36$ und $108$ .

$f (- 6) = \frac{36}{144}$

Schritt 4.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $144$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$f (- 6) = \frac{36 (1)}{144}$

Schritt 4.1.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.2.1

Faktorisiere $36$ aus $144$ heraus.

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 6) = \frac{1}{4}$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 6$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ ermittelt werden kann, ist $(- 6, \frac{1}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 6, \frac{1}{4})$

Schritt 4.3

Ersetze $6$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{{(6)}^{2} + 108}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = \frac{36}{6^{2} + 108}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = \frac{36}{36 + 108}$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $36$ und $108$ .

$f (6) = \frac{36}{144}$

Schritt 4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $144$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$f (6) = \frac{36 (1)}{144}$

Schritt 4.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.2.1

Faktorisiere $36$ aus $144$ heraus.

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Schritt 4.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Schritt 4.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (6) = \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $6$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ ermittelt werden kann, ist $(6, \frac{1}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(6, \frac{1}{4})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 6)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $6.1$ von $6$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 \cdot (- 0.1 (6 + 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.1

Mutltipliziere $648$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 64.8 (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 64.8$ mit $6 + 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Potenziere $- 6.1$ mit $2$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $37.21$ und $108$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{145.21}^{3}}$

Schritt 6.2.3.3

Potenziere $145.21$ mit $3$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{3061889.942761}$

Schritt 6.2.4

Dividiere $- 784.08$ durch $3061889.942761$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.00025607$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Schritt 6.3

Bei $- 6.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00025607$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 6)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 6)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 6, 6)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Entferne die Klammern.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 + 0)}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Potenziere $6 + 0$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.1.3

Potenziere $6 + 0$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $6$ und $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 6^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0 + 108)}^{3}}$

Schritt 7.2.3.2

Addiere $0$ und $108$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{108^{3}}$

Schritt 7.2.3.3

Potenziere $108$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{1259712}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $648$ mit $36$ .

$f'' (0) = \frac{23328}{1259712}$

Schritt 7.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $23328$ und $1259712$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.1

Faktorisiere $23328$ aus $23328$ heraus.

$f'' (0) = \frac{23328 (1)}{1259712}$

Schritt 7.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.2.1

Faktorisiere $23328$ aus $1259712$ heraus.

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Schritt 7.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Schritt 7.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{1}{54}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{54}$ .

$\frac{1}{54}$

Schritt 7.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $0.0\overline{185}$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 6, 6)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 6, 6)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Entferne die Klammern.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $6$ und $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 \cdot (12.1 (6 - 6.1))}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.3.1

Mutltipliziere $648$ mit $12.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{7840.8 (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3.2

Mutltipliziere $7840.8$ mit $6 - 6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Potenziere $6.1$ mit $2$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Schritt 8.2.3.2

Addiere $37.21$ und $108$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{145.21}^{3}}$

Schritt 8.2.3.3

Potenziere $145.21$ mit $3$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{3061889.942761}$

Schritt 8.2.4

Dividiere $- 784.07999999$ durch $3061889.942761$ .

$f'' (6.1) = - 0.00025607$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Schritt 8.3

Bei $6.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00025607$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(6, \infty)$

Abfallend im Intervall $(6, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$ .

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Schritt 10