Analysis Beispiele

$z = u^{\frac{3}{2}} (u + c e^{u})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [f (c) g (c)]$ gleich $f (c) \frac{d}{d c} [g (c)] + g (c) \frac{d}{d c} [f (c)]$ ist mit $f (c) = u^{\frac{3}{2}}$ und $g (c) = u + c e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d c} [u + c e^{u}] + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u + c e^{u}$ nach $c$ $\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]$ .

$u^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2

Da $u$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $u$ bezüglich $c$ gleich $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d c} [c e^{u}]$ .

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Schritt 3.1

Da $e^{u}$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $c e^{u}$ nach $c$ gleich $e^{u} \frac{d}{d c} [c]$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \frac{d}{d c} [c]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ gleich $n c^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \cdot 1) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $e^{u}$ mit $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u}) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Addiere $0$ und $e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.2

Da $u^{\frac{3}{2}}$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $u^{\frac{3}{2}}$ bezüglich $c$ gleich $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \cdot 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + u \cdot 0 + c e^{u} \cdot 0$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + c e^{u} \cdot 0$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $c$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0 e^{u}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $e^{u}$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0$

Schritt 5.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0$

Schritt 5.2.5

Addiere $u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ und $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} e^{u}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ um.

$e^{u} u^{\frac{3}{2}}$