Analysis Beispiele

$y = (4 x^{2} + 9) (2 x - 3 + \frac{7}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x^{2} + 9$ und $g (x) = 2 x - 3 + \frac{7}{x}$ .

$(4 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [2 x - 3 + \frac{7}{x}] + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3 + \frac{7}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

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Schritt 5.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 (- x^{- 2})) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 x^{- 2}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Addiere $2$ und $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{- 7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(4 x^{2} + 9) (2 - \frac{7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 8

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 8.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 9.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + 0)$

Schritt 9.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 2 x (8 x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Schritt 10.2

Vereine die Terme

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x \cdot x - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Schritt 10.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Schritt 10.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x^{1}) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Schritt 10.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{1 + 1} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Schritt 10.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Schritt 10.2.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 3$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{7}{x} (8 x)$

Schritt 10.2.7

Kombiniere $8$ und $\frac{7}{x}$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{8 \cdot 7}{x} x$

Schritt 10.2.8

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56}{x} x$

Schritt 10.2.9

Kombiniere $\frac{56}{x}$ und $x$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

Schritt 10.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 10.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

Schritt 10.2.10.2

Dividiere $56$ durch $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + 56$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$16 x^{2} + (- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

Schritt 10.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.1

Multipliziere $(- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2} + 9) + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

Schritt 10.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

Schritt 10.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 10.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{x^{2}}$ in den Zähler.

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{2} - 7 \cdot 4 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.3

Multipliziere $- \frac{7}{x^{2}} \cdot 9$ .

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Schritt 10.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$16 x^{2} - 28 - 9 \frac{7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.3.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{7}{x^{2}}$ .

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 9 \cdot 7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $7$ .

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 18 - 24 x + 56$

Schritt 10.4.2.2

Addiere $- 28$ und $18$ .

$16 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} - 10 - 24 x + 56$

Schritt 10.5

Addiere $16 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 10 - 24 x + 56$

Schritt 10.6

Addiere $- 10$ und $56$ .

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 24 x + 46$