Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{x (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1$ .

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Schritt 1.1.3.3.2.1

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2.2

Addiere $2 x^{2} - x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Schritt 4.1.2.1.2

Schreibe $- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ als $- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ um.

$- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- (1 - 2 \cdot - 1 + 1)$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- (1 + 2 + 1)$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.3.1

Addiere $1$ und $2$ .

$- (3 + 1)$

Schritt 4.1.2.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Schritt 4.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Dividiere ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ durch $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$1 - 2 + 1$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 4.2.2.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{0}$

Schritt 4.3.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(- 1, - 4), (1, 0)$

Schritt 5