Analysis Beispiele

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $3$ und $8$ .

$2 i^{2} - i + 11$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

Schritt 3

Berechne $\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

Schritt 3.2

Berechne $2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1.1

Addiere $24$ und $1$ .

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $24$ mit $25$ .

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Schritt 3.2.3.1.3

Addiere $48$ und $1$ .

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere $600$ mit $49$ .

$2 (\frac{29400}{6})$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

Schritt 3.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{29400}{3}$

Schritt 3.2.3.2.3

Dividiere $29400$ durch $3$ .

$9800$

Schritt 3.3

Berechne $1 \sum_{k = 1}^{24} i$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Addiere $24$ und $1$ .

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $24$ mit $25$ .

$- 1 (\frac{600}{2})$

Schritt 3.3.3.3

Dividiere $600$ durch $2$ .

$- 1 \cdot 300$

Schritt 3.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $300$ .

$- 300$

Schritt 3.4

Berechne $\sum_{k = 1}^{24} 11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(11) (24)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $11$ mit $24$ .

$264$

Schritt 3.5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$9800 - 300 + 264$

Schritt 3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Subtrahiere $300$ von $9800$ .

$9500 + 264$

Schritt 3.6.2

Addiere $9500$ und $264$ .

$9764$

Schritt 4

Berechne $\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.5

Addiere $1$ und $11$ .

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.9

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.10

Addiere $6$ und $11$ .

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.11

Addiere $12$ und $17$ .

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.12

Potenziere $3$ mit $2$ .

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.15

Subtrahiere $3$ von $18$ .

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.16

Addiere $15$ und $11$ .

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.17

Addiere $29$ und $26$ .

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.18

Potenziere $4$ mit $2$ .

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.19

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

Schritt 4.2.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$55 + 32 - 4 + 11$

Schritt 4.2.21

Subtrahiere $4$ von $32$ .

$55 + 28 + 11$

Schritt 4.2.22

Addiere $28$ und $11$ .

$55 + 39$

Schritt 4.2.23

Addiere $55$ und $39$ .

$94$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$9764 - 94$

Schritt 6

Subtrahiere $94$ von $9764$ .

$9670$