Analysis Beispiele

$r (x) = \frac{x^{3} + 64}{x^{2} + 16}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{x^{3} + 64}{x^{2} + 16}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{3} + 64 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 64$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 64 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.3.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 1.2.2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.2.2.6

Setze $x^{2} - 4 x + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.6.1

Setze $x^{2} - 4 x + 16$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Schritt 1.2.2.6.2

Löse $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.6.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 1.2.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.2.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.2.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.2.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.2.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.6.2.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 1.2.2.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.2.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.2.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.2.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.2.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.6.2.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 1.2.2.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.2.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.2.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.2.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 4, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{{(0)}^{3} + 64}{{(0)}^{2} + 16}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{0^{3} + 64}{{(0)}^{2} + 16}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{0^{3} + 64}{0^{2} + 16}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{{(0)}^{3} + 64}{{(0)}^{2} + 16}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\frac{{(0)}^{3} + 64}{{(0)}^{2} + 16}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{0 + 64}{0^{2} + 16}$

Schritt 2.2.4.1.2

Addiere $0$ und $64$ .

$y = \frac{64}{0^{2} + 16}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{64}{0 + 16}$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $16$ .

$y = \frac{64}{16}$

Schritt 2.2.4.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$y = 4$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 4, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 4