Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{30} k (k + 1)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k \cdot k + k \cdot 1$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$k^{2} + k \cdot 1$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$k^{2} + k$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{2} + k$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{2} + k = \sum_{k = 1}^{30} k^{2} + \sum_{k = 1}^{30} k$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{30} k^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $6$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)$ heraus.

$\frac{6 (5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1))}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1))}{6 (1)}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1))}{6 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{1}$

Schritt 3.3.1.2.4

Dividiere $5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)$ durch $1$ .

$5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $30$ und $1$ .

$5 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $31$ .

$155 (2 \cdot 30 + 1)$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $30$ .

$155 (60 + 1)$

Schritt 3.3.2.4

Addiere $60$ und $1$ .

$155 \cdot 61$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $155$ mit $61$ .

$9455$

Schritt 4

Berechne $\sum_{k = 1}^{30} k$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{30 (30 + 1)}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $30 (30 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 (1)}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 (30 + 1)}{1}$

Schritt 4.3.1.2.4

Dividiere $15 (30 + 1)$ durch $1$ .

$15 (30 + 1)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $30$ und $1$ .

$15 \cdot 31$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $31$ .

$465$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$9455 + 465$

Schritt 6

Addiere $9455$ und $465$ .

$9920$