Analysis Beispiele

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 2$

Schritt 1

Schreibe $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 2$ als Funktion.

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 2$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin^{3} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.1.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Schritt 2.1.1.4.2

Addiere $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ und $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin^{2} (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1.2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.6

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.2.6.1

Bewege $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.6.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1.2.2.6.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.8

Schreibe $- 1 \sin^{3} (x)$ als $- \sin^{3} (x)$ um.

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.1.2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.1.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 6 \sin^{3} (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 3 \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.5

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 2.2.4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 2.2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 2.2.4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 2.2.4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.2.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.2.4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.2.4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.5

Setze $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ gleich $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Löse $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.1

Ersetze die $4 \cos^{2} (x)$ durch $4 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.5.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.5.2.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.5.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 2.2.5.2.3.2

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x)$ von $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 2.2.5.2.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Schritt 2.2.5.2.5

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Schritt 2.2.5.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 2.2.5.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Schritt 2.2.5.2.5.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Schritt 2.2.5.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.5.2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $- 6$ .

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Schritt 2.2.5.2.5.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Schritt 2.2.5.2.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.2.5.3.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.2.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.2.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.5.2.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.2.5.2.7

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.5.2.7.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2.5.2.7.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2.5.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.2.7.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.5.2.7.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.7.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.2.5.2.7.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.2.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.2.10

Löse in $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.2.5.2.10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.5.2.10.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.10.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.10.4

Vereinfache $π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 2.2.5.2.10.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.10.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.5.2.10.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.10.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.10.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.2.10.4.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.10.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.2.5.2.10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.5.2.10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.5.2.10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.2.5.2.10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.2.5.2.10.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.5.2.11

Löse in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.2.5.2.11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.5.2.11.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.11.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 2.2.5.2.11.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.2.5.2.11.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 2.2.5.2.11.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.11.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.2.5.2.11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.5.2.11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.5.2.11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.2.5.2.11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.2.5.2.11.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.2.5.2.11.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 2.2.5.2.11.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.11.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.5.2.11.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.11.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.11.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.2.11.6.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.11.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.11.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.11.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.5.2.12

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.5.2.13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.7

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 12 \cos^{2} (0) \sin (0) - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f'' (0) = 12 \cdot (1^{2} \sin (0)) - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = 12 \cdot (1 \sin (0)) - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (0) = 12 \sin (0) - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 0^{3} - 3 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 0 - 3 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 3 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.9

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 3 \cdot 0$

Schritt 5.2.1.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6