Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (x)$ , $a = \frac{7 π}{2}$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = \frac{7 π}{2}$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (\frac{7 π}{2}) + f' (\frac{7 π}{2}) (x - \frac{7 π}{2})$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{7 π}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7 π}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache $\cos (\frac{7 π}{2})$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$\cos (\frac{7 π}{2})$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 3.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\cos (\frac{π}{2})$

Schritt 3.2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $\frac{7 π}{2}$ .

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Schritt 4.1

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7 π}{2}$ .

$- \sin (\frac{7 π}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 4.3.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 4.3.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.3.4

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 4.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- - 1$

Schritt 4.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 0 + 1 (x - \frac{7 π}{2})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Addiere $0$ und $1 (x - \frac{7 π}{2})$ .

$L (x) = 1 (x - \frac{7 π}{2})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x - \frac{7 π}{2}$ mit $1$ .

$L (x) = x - \frac{7 π}{2}$

Schritt 7