Analysis Beispiele

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 9$ und $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 81$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ und deren Summe gleich $b = - 18$ ist.

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Schritt 2.1.3.5.1.1

Faktorisiere $- 18$ aus $- 18 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.1.2

Schreibe $- 18$ um als $- 9$ plus $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.3.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.3.6.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.3

Wende die Produktregel auf $(x + 9) (x - 9)$ an.

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.2

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (9)$ heraus.

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.4

Schreibe $- (x + 9)$ als $- 1 (x + 9)$ um.

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.5

Potenziere $x + 9$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.6

Potenziere $x + 9$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 9)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 3.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 6

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$ .

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 9)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{((8) - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $9$ von $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (8) = - 1 \cdot 1$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (8) = - 1$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 7.3

Bei $x = 8$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 9)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 9)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(9, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{{((10) - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1.1

Subtrahiere $9$ von $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Schritt 8.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (10) = - 1 \cdot 1$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (10) = - 1$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 8.3

Bei $x = 10$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(9, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(9, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 9), (9, \infty)$

Schritt 10