Analysis Beispiele

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Schreibe $x - 3 \sqrt[3]{x}$ als Funktion.

$f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3 \sqrt[3]{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 2.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 2.1.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 2.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 2.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2.1.2.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.12

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 2.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ um.

$- x^{\frac{2}{3}} = - 1$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{2}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1$

Schritt 3.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm 1$

Schritt 3.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 3.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 3.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1, - 1$ .

$1, - 1$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.3.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $1 - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Schritt 8.2.1.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Schritt 8.2.1.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Schritt 8.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Schritt 8.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Schritt 8.2.1.1.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{1 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Schritt 8.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 8.2.1.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 8.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $2^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.2.2

Die endgültige Lösung ist $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

$- 0.58740105$

Schritt 8.4

Bei $x = - \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- 0.58740105$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 9.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 9.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $2^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 9.2.2

Die endgültige Lösung ist $1 - 2^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

$- 0.58740105$

Schritt 9.4

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- 0.58740105$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 1 - \frac{1}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (2) = 1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.2.2

Die endgültige Lösung ist $1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3

Vereinfache.

$0.37003947$

Schritt 10.4

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $0.37003947$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (- 1, 0), (0, 1)$

Schritt 12