Analysis Beispiele

${(\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}] + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 8

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 11

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot 0)$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 0)$

Schritt 13.2

Addiere $- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ und $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.1

Mutltipliziere $- \sin (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.1.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.1.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ heraus.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \sin (x) - 1$ und ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.3.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x)) - 1 (1)$ heraus.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.3.1.4

Schreibe $- (\sin (x) + 1)$ als $- 1 (\sin (x) + 1)$ um.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.3.1.5

Stelle die Terme um.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.3.1.6

Faktorisiere $1 + \sin (x)$ aus $- 1 (1 + \sin (x))$ heraus.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Schritt 14.3.1.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1.7.1

Faktorisiere $1 + \sin (x)$ aus ${(1 + \sin (x))}^{2}$ heraus.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

Schritt 14.3.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

Schritt 14.3.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1}{1 + \sin (x)})$

Schritt 14.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- - \frac{1}{1 + \sin (x)})$

Schritt 14.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (1 \frac{1}{1 + \sin (x)})$

Schritt 14.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ mit $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Schritt 15

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}) \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Schritt 15.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Schritt 15.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Schritt 15.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Schritt 15.6

Potenziere $1 + \sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x))}$

Schritt 15.7

Potenziere $1 + \sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1}}$

Schritt 15.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1 + 1}}$

Schritt 15.9

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$