Analysis Beispiele

$(2 x + 1) (2 x - 1)$

Schritt 1

Schreibe $(2 x + 1) (2 x - 1)$ als Funktion.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (2 x + 1) (2 x - 1) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.4

Bewege $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.5

Bewege $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1 d x$

Schritt 4.14

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\int 4 x^{2} + 0 - 1 d x$

Schritt 4.15

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\int 4 x^{2} - 1 d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - x + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - x + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\frac{4 x^{3}}{3} - x + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{3} x^{3} - x + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} - x + C$