Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 2}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2} - 2}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{2} - 2}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 2}{x} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{- 2}{x} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{- 2}{x} d x$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{- 2}{x} d x$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 2}{x} d x$

Schritt 6.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 2}{x} d x$

Schritt 6.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x}{1} d x + \int \frac{- 2}{x} d x$

Schritt 6.1.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\int x d x + \int \frac{- 2}{x} d x$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2 \ln (| x |) + C$