Analysis Beispiele

$y = \frac{16}{x}$ , $y = x$ , $y = \frac{x}{4}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{16}{x} = x$

Schritt 1.2

Löse $\frac{16}{x} = x$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{x} = x$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{x} = x$ mit $x$ .

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} = 16$ um.

$x^{2} = 16 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.2.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 4$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$y = 4 y = \frac{4}{4}$

Schritt 1.3.2

Entferne die Klammern.

$y = 4$

Schritt 1.4

Setze $4$ für $x$ in $y = \frac{4}{4}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4}{4}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $4$ durch $4$ .

$y = 1$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = - 4$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$y = - 4 y = \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.5.2

Entferne die Klammern.

$y = - 4$

Schritt 1.6

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$y = - 1$

Schritt 1.7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} x d x - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 4$ und $4$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 4}^{4} x - (\frac{16}{x}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{16}{x}$ .

$\int_{- 4}^{4} x - \frac{16}{x} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 4}^{4} x d x + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Schritt 3.6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - (16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Schritt 3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.9.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.1.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $4$ und $- 4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Schritt 3.9.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $4$ und $- 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 3.9.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.1.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.3.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.4

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 16 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.5

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$8 - 16 (\frac{1}{2}) - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.6

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 16}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $2$ .

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Schritt 3.9.1.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.1.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 + \frac{- 8}{1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.7.2.4

Dividiere $- 8$ durch $1$ .

$8 - 8 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.8

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.1.3.9

Subtrahiere $16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$ von $0$ .

$- 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Schritt 3.9.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 16 \ln (\frac{| 4 |}{| - 4 |})$

Schritt 3.9.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{| - 4 |})$

Schritt 3.9.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 4$ und $0$ ist $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{4})$

Schritt 3.9.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- 16 \ln (1)$

Schritt 3.9.3.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 16 \cdot 0$

Schritt 3.9.3.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4