Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (4 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (4 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sin (4 x))}^{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 1.3.1.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (4 x)$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (4 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (4 x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}$

Schritt 3.5

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (4 x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 1}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 \sin (4 x) \cos (4 x)}$

Schritt 3.10

Stelle die Faktoren von $8 \sin (4 x) \cos (4 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \cos (4 x) \sin (4 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (4 \cos (4 x) \sin (4 x))}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (4 \cos (4 x) \sin (4 x))}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 \cos (4 x) \sin (4 x)}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos (4 x) \sin (4 x)}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (4 x)}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (4 x)}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 5.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 5.1.3.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 5.1.3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 5.1.3.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{\cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{\cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.3.7.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (4 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.3.7.3

Mutltipliziere $\sin (4 \cdot 0)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{\sin (4 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.3.7.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 5.1.3.7.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.7.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos (4 x) \sin (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (4 x)]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (4 x)]}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (4 x)]}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (4 x)$ und $g (x) = \sin (4 x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 5.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (4 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (4 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.5

Potenziere $\cos (4 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos^{1} (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.6

Potenziere $\cos (4 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos^{1} (4 x) \cos^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{{\cos (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.11

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (4 x) \cdot 4 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.12

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cdot \cos^{2} (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}$

Schritt 5.3.13

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 5.3.13.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.13.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.13.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.14

Potenziere $\sin (4 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) - \sin^{1} (4 x) \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.15

Potenziere $\sin (4 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) - \sin^{1} (4 x) \sin^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) - {\sin (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.17

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) - \sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.18

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) - \sin^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.19

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.21

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 \cos^{2} (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 6.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 lim_{x \to 0} \cos^{2} (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 6.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (4 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} \cos (4 x))}^{2} - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 6.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 6.7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 6.8

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}$

Schritt 6.9

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (4 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 {(lim_{x \to 0} \sin (4 x))}^{2}}$

Schritt 6.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 6.11

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 4 \sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 8.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 8.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 - 4 \sin^{2} (0)}$

Schritt 8.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 - 4 \cdot 0^{2}}$

Schritt 8.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 - 4 \cdot 0}$

Schritt 8.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 + 0}$

Schritt 8.1.9

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 8.2

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{16}$