Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 1.3

Da die Funktion $e^{\frac{1}{4} x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $7$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 1.3.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $7$ entfernt.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{4} x}}$

Schritt 1.3.2

Da der Exponent $\frac{1}{4} x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{\frac{1}{4} x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{\frac{x}{4}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Schritt 3.5

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Schritt 3.6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7}{4} e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{7}{4}$ und $e^{\frac{x}{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 5.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{12}{7}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 7

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 7.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 7.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 7.1.3

Da der Exponent $\frac{x}{4}$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{\frac{x}{4}}$ $\infty$ an.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 7.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 7.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 7.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 7.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Schritt 7.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Schritt 7.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Schritt 7.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Schritt 7.3.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 7.3.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 7.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Schritt 7.3.7

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ mit $1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} 2 x \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 7.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 7.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 7.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 9

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 9.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 9.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 9.1.3

Da der Exponent $\frac{x}{4}$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{\frac{x}{4}}$ $\infty$ an.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 9.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 9.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 9.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Schritt 9.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Schritt 9.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Schritt 9.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Schritt 9.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Schritt 9.3.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 9.3.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 9.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ mit $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} 1 \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ mit $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$

Schritt 11

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$ $0$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 \cdot 0$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Multipliziere $\frac{12}{7} \cdot 8$ .

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{12}{7}$ und $8$ .

$\frac{12 \cdot 8}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$\frac{96}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Schritt 12.2

Multipliziere $\frac{96}{7} \cdot 4$ .

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $\frac{96}{7}$ und $4$ .

$\frac{96 \cdot 4}{7} \cdot 0$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $96$ mit $4$ .

$\frac{384}{7} \cdot 0$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $\frac{384}{7}$ mit $0$ .

$0$