Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Schritt 1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{0}{\ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (\sec (0))}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Schritt 1.3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.4

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.7

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Schritt 3.8

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.1.1

Stelle $\cos (x)$ und $\sec (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sec (x) \cos (x) \tan (x)}$

Schritt 3.9.1.2

Schreibe $\cos (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)}$

Schritt 3.9.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \tan (x)}$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (x)}$

Schritt 3.9.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{\sin (x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 7.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 7.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 7.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 7.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 7.1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 7.1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 7.1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1.2.4.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 7.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 7.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 7.1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 7.1.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 7.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 7.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 7.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 7.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 7.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 7.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 7.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 7.3.6

Stelle die Terme um.

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 7.3.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 8.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 8.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 8.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 8.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 8.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (0)}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 \frac{0 \cdot 0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$2 \frac{0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Schritt 10.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \frac{0 + 1}{\cos (0)}$

Schritt 10.1.4

Addiere $0$ und $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 10.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{1})$

Schritt 10.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 1$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$