Analysis Beispiele

$h (s) = s^{3} (s^{2} - 16 s + 8)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ gleich $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ ist mit $f (s) = s^{3}$ und $g (s) = s^{2} - 16 s + 8$ .

$s^{3} \frac{d}{d s} [s^{2} - 16 s + 8] + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $s^{2} - 16 s + 8$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [- 16 s] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$s^{3} (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [- 16 s] + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$s^{3} (2 s + \frac{d}{d s} [- 16 s] + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Schritt 1.2.3

Da $- 16$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- 16 s$ nach $s$ gleich $- 16 \frac{d}{d s} [s]$ .

$s^{3} (2 s - 16 \frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$s^{3} (2 s - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$s^{3} (2 s - 16 + \frac{d}{d s} [8]) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Schritt 1.2.6

Da $8$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $s$ gleich $0$ .

$s^{3} (2 s - 16 + 0) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Schritt 1.2.7

Addiere $2 s - 16$ und $0$ .

$s^{3} (2 s - 16) + (s^{2} - 16 s + 8) \frac{d}{d s} [s^{3}]$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$s^{3} (2 s - 16) + (s^{2} - 16 s + 8) (3 s^{2})$

Schritt 1.2.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $s^{2} - 16 s + 8$ .

$s^{3} (2 s - 16) + 3 \cdot (s^{2} - 16 s + 8) s^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$s^{3} (2 s) + s^{3} \cdot - 16 + 3 (s^{2} - 16 s + 8) s^{2}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$s^{3} (2 s) + s^{3} \cdot - 16 + (3 s^{2} + 3 (- 16 s) + 3 \cdot 8) s^{2}$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$s^{3} (2 s) + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.4.1

Multipliziere $s^{3}$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1.1

Bewege $s$ .

$s \cdot s^{3} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.1.2

Mutltipliziere $s$ mit $s^{3}$ .

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Schritt 1.3.4.1.2.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$s^{1} s^{3} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s^{1 + 3} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$s^{4} \cdot 2 + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $s^{4}$ .

$2 \cdot s^{4} + s^{3} \cdot - 16 + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.3

Bringe $- 16$ auf die linke Seite von $s^{3}$ .

$2 s^{4} - 16 \cdot s^{3} + 3 s^{2} s^{2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.4

Multipliziere $s^{2}$ mit $s^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.4.1

Bewege $s^{2}$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 (s^{2} s^{2}) + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{2 + 2} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} + 3 (- 16 s) s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s \cdot s^{2} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.6

Multipliziere $s$ mit $s^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.6.1

Bewege $s^{2}$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 (s^{2} s) + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.6.2

Mutltipliziere $s^{2}$ mit $s$ .

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Schritt 1.3.4.6.2.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 (s^{2} s^{1}) + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s^{2 + 1} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s^{3} + 3 \cdot 8 s^{2}$

Schritt 1.3.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$2 s^{4} - 16 s^{3} + 3 s^{4} - 48 s^{3} + 24 s^{2}$

Schritt 1.3.4.8

Addiere $2 s^{4}$ und $3 s^{4}$ .

$5 s^{4} - 16 s^{3} - 48 s^{3} + 24 s^{2}$

Schritt 1.3.4.9

Subtrahiere $48 s^{3}$ von $- 16 s^{3}$ .

$f' (s) = 5 s^{4} - 64 s^{3} + 24 s^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 s^{4} - 64 s^{3} + 24 s^{2}$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [5 s^{4}] + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$ .

$\frac{d}{d s} [5 s^{4}] + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d s} [5 s^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $5 s^{4}$ nach $s$ gleich $5 \frac{d}{d s} [s^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d s} [s^{4}] + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 s^{3}) + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 s^{3} + \frac{d}{d s} [- 64 s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d s} [- 64 s^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- 64 s^{3}$ nach $s$ gleich $- 64 \frac{d}{d s} [s^{3}]$ .

$20 s^{3} - 64 \frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 s^{3} - 64 (3 s^{2}) + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 64$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + \frac{d}{d s} [24 s^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d s} [24 s^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $24$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $24 s^{2}$ nach $s$ gleich $24 \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + 24 \frac{d}{d s} [s^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + 24 (2 s)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f'' (s) = 20 s^{3} - 192 s^{2} + 48 s$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $h (s)$ nach $s$ ist $20 s^{3} - 192 s^{2} + 48 s$ .

$20 s^{3} - 192 s^{2} + 48 s$