Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + \frac{54}{x} - 2$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{54}{x} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{54}{x}$ nach $x$ gleich $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $54$ .

$2 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 54 x^{- 2} + 0$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Kombiniere $- 54$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.1.4.2.3

Addiere $2 x - \frac{54}{x^{2}}$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{54}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{54}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{54}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$2 - 54 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$2 - 54 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 - 54 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$2 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 54 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 - 54 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 - 54 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 - 54 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 - 54 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.2.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$2 - 54 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.2.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 54$ .

$2 + 108 x^{- 3}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 108 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.2.4.2

Kombiniere $108$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 + \frac{108}{x^{3}}$

Schritt 1.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{108}{x^{3}} + 2$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{108}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 2$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{108}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{108}{x^{3}} = - 2$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{108}{x^{3}} = - 2$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{108}{x^{3}} = - 2$ mit $x^{3}$ .

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$108 = - 2 x^{3}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{3} = 108$ um.

$- 2 x^{3} = 108$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $108$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{3} - 108 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{3} - 108$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- 2 x^{3} - 108 = 0$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 108$ heraus.

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 54 = 0$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{3}) - 2 (54)$ heraus.

$- 2 (x^{3} + 54) = 0$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x^{3} + 54) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x^{3} + 54) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{3} + 54)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (x^{3} + 54)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Dividiere $x^{3} + 54$ durch $1$ .

$x^{3} + 54 = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$x^{3} + 54 = 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $54$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 54$

Schritt 2.5.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{- 54}$

Schritt 2.5.7

Vereinfache $\sqrt[3]{- 54}$ .

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Schritt 2.5.7.1

Schreibe $- 54$ als ${(- 3)}^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.5.7.1.1

Faktorisiere $- 27$ aus $- 54$ heraus.

$x = \sqrt[3]{- 27 (2)}$

Schritt 2.5.7.1.2

Schreibe $- 27$ als ${(- 3)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 3)}^{3} \cdot 2}$

Schritt 2.5.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - 3 \sqrt[3]{2}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 3 \sqrt[3]{2}$ in $f (x) = x^{2} + \frac{54}{x} - 2$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = {(- 3 \sqrt[3]{2})}^{2} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 3 \sqrt[3]{2}$ an.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = {(- 3)}^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 {\sqrt[3]{2}}^{2} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{2^{2}} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{54}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $- 3$ .

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Schritt 3.1.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{3 (18)}{- 3 \sqrt[3]{2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sqrt[3]{2}$ heraus.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{3 (18)}{3 (- \sqrt[3]{2})} - 2$

Schritt 3.1.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{3 \cdot 18}{3 (- \sqrt[3]{2})} - 2$

Schritt 3.1.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} + \frac{18}{- \sqrt[3]{2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18}{\sqrt[3]{2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{18}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - (\frac{18}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}) - 2$

Schritt 3.1.2.1.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{18}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.8.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.8.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.8.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.2.1.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}} - 2$

Schritt 3.1.2.1.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2} - 2$

Schritt 3.1.2.1.8.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{18 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2} - 2$

Schritt 3.1.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $18 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ heraus.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (9 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2} - 2$

Schritt 3.1.2.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (9 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 (1)} - 2$

Schritt 3.1.2.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{2 (9 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 1} - 2$

Schritt 3.1.2.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - \frac{9 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{1} - 2$

Schritt 3.1.2.1.9.2.4

Dividiere $9 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ durch $1$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - (9 {\sqrt[3]{2}}^{2}) - 2$

Schritt 3.1.2.1.10

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - (9 \sqrt[3]{2^{2}}) - 2$

Schritt 3.1.2.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - (9 \sqrt[3]{4}) - 2$

Schritt 3.1.2.1.12

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 9 \sqrt[3]{4} - 9 \sqrt[3]{4} - 2$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $9 \sqrt[3]{4}$ von $9 \sqrt[3]{4}$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = 0 - 2$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f (- 3 \sqrt[3]{2}) = - 2$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 3 \sqrt[3]{2}$ in $f (x) = x^{2} + \frac{54}{x} - 2$ ermittelt werden kann, ist $(- 3 \sqrt[3]{2}, - 2)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 3 \sqrt[3]{2}, - 2)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 3 \sqrt[3]{2}) \cup (- 3 \sqrt[3]{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3 \sqrt[3]{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.87976314$ .

$f'' (- 3.87976314) = \frac{108}{{(- 3.87976314)}^{3}} + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3.87976314$ mit $3$ .

$f'' (- 3.87976314) = \frac{108}{- 58.40037573} + 2$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $108$ durch $- 58.40037573$ .

$f'' (- 3.87976314) = - 1.84930317 + 2$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 1.84930317$ und $2$ .

$f'' (- 3.87976314) = 0.15069682$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.15069682$ .

$0.15069682$

Schritt 5.3

Bei $- 3.87976314$ ist die zweite Ableitung $0.15069682$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 3 \sqrt[3]{2})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 3 \sqrt[3]{2})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3 \sqrt[3]{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.67976314$ .

$f'' (- 3.67976314) = \frac{108}{{(- 3.67976314)}^{3}} + 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 3.67976314$ mit $3$ .

$f'' (- 3.67976314) = \frac{108}{- 49.82641005} + 2$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $108$ durch $- 49.82641005$ .

$f'' (- 3.67976314) = - 2.16752521 + 2$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 2.16752521$ und $2$ .

$f'' (- 3.67976314) = - 0.16752521$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.16752521$ .

$- 0.16752521$

Schritt 6.3

Bei $- 3.67976314$ , die zweite Ableitung ist $- 0.16752521$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 3 \sqrt[3]{2}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(- 3 \sqrt[3]{2}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- 3 \sqrt[3]{2}, - 2)$ .

$(- 3 \sqrt[3]{2}, - 2)$

Schritt 8