Analysis Beispiele

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{π}{3}$ in $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.1.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Schritt 4.1.2.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ in $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.94719755$ .

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Schritt 6.3

Bei $0.94719755$ , die zweite Ableitung ist $- 0.53195951$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{π}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.14719755$ .

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Schritt 7.3

Bei $1.14719755$ ist die zweite Ableitung $0.50208433$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{π}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Schritt 9