Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 10$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 (x + 10) x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (x + 10) x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.7.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ heraus.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Schritt 1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (20)$ heraus.

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.6

Schreibe $- (x + 20)$ als $- 1 (x + 20)$ um.

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 20 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 20$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 20$ .

$- 20$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 20}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 20)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 21$ .

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 21$ und $20$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 21$ mit $3$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

Schritt 6.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{9261}$ .

$- \frac{1}{9261}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 21$ ist die Ableitung $- \frac{1}{9261}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 20)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 20)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 20, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 10$ .

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Addiere $- 10$ und $20$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 10$ mit $3$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $- 1000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $- 1000$ heraus.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

Schritt 7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{100}$ .

$\frac{1}{100}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 10$ ist die Ableitung $\frac{1}{100}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 20, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 20, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Addiere $1$ und $20$ .

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

Schritt 8.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $21$ durch $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $21$ .

$f' (1) = - 21$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 21$ .

$- 21$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 21$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 20, 0)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 20), (0, \infty)$

Schritt 10