Analysis Beispiele

$2 x - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$2 - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$2 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$2 - 2 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 + 4 x^{- 3}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 + \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 2$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4}{x^{3}} = - 2$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{x^{3}} = - 2$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{x^{3}} = - 2$ mit $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 = - 2 x^{3}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{3} = 4$ um.

$- 2 x^{3} = 4$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{3} - 4 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{3} - 4$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- 2 x^{3} - 4 = 0$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{3}) - 2 (2)$ heraus.

$- 2 (x^{3} + 2) = 0$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x^{3} + 2) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x^{3} + 2) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{3} + 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (x^{3} + 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Dividiere $x^{3} + 2$ durch $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$x^{3} + 2 = 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 2$

Schritt 2.5.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

Schritt 2.5.7

Vereinfache $\sqrt[3]{- 2}$ .

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Schritt 2.5.7.1

Schreibe $- 2$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.5.7.1.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Schritt 2.5.7.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Schritt 2.5.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

Schritt 2.5.7.3

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{2}$ als $- \sqrt[3]{2}$ um.

$x = - \sqrt[3]{2}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 4

Werte $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \sqrt[3]{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt[3]{2}$ .

$2 (- \sqrt[3]{2}) - \frac{2}{{(- \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{{(- \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt[3]{2}$ an.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{{(- 1)}^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 \sqrt[3]{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.1.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 \sqrt[3]{4}}$

Schritt 4.1.2.1.2.5

Mutltipliziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - (\frac{2}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Schritt 4.1.2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 4.1.2.1.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 4.1.2.1.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 4.1.2.1.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.1.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ heraus.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 ({\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2}$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{16}}{2}$

Schritt 4.1.2.1.6.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.1.2.1.6.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2}$

Schritt 4.1.2.1.6.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2}$

Schritt 4.1.2.1.6.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.1.7.2

Dividiere $\sqrt[3]{2}$ durch $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $\sqrt[3]{2}$ von $- 2 \sqrt[3]{2}$ .

$- 3 \sqrt[3]{2}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$2 (0) - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (0) - \frac{2}{0}$

Schritt 4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- \sqrt[3]{2}, - 3 \sqrt[3]{2})$

Schritt 5