Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 5 - 9 x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.10.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.12

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9)) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.13

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.14

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.15

Kombiniere $\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $- 9$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.16

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.17

Bringe ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.18

Faktorisiere $3$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.19.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 ({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} (- \frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.21

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ und $0$ .

$f' (x) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 = 0$

Schritt 2.3

Da $6 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{{(5 - 9 x)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 \sqrt[3]{5 - 9 x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(7 \sqrt[3]{5 - 9 x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5 - 9 x}$ als ${(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$7^{3} {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $7$ mit $3$ .

$343 {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$343 {(5 - 9 x)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$343 (5 - 9 x) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$343 \cdot 5 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $343$ mit $5$ .

$1715 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $343$ .

$1715 - 3087 x = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$1715 - 3087 x = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $1715$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3087 x = - 1715$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3087 x = - 1715$ durch $- 3087$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3087 x = - 1715$ durch $- 3087$ .

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3087$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Schritt 3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1715}{- 3087}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1715$ und $- 3087$ .

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Schritt 3.3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $- 343$ aus $- 1715$ heraus.

$x = \frac{- 343 (5)}{- 3087}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 343$ aus $- 3087$ heraus.

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{9}$

Schritt 4

Werte $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{5}{9}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5}{9}$ .

$\frac{{(5 - 9 (\frac{5}{9}))}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.1.2.1.1.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{{(5 + 9 (- 1) \frac{5}{9})}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(5 + 9 \cdot - 1 \frac{5}{9})}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{{(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{{(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0^{3 (\frac{2}{3})}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0^{3 (\frac{2}{3})}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0^{2}}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{7} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $0$ durch $7$ .

$0 + 1$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\frac{5}{9}, 1)$

Schritt 5