Analysis Beispiele

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 1

Teile das Integral bei $0$ und schreibe es als Summe von Grenzwerten.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2

$\int_{t}^{0} e^{- x^{2}} d x$ ist ein spezielles Integral. Das Integral ist die Fehlerfunktion.

$lim_{t \to - \infty} erf (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $erf (x)$ bei $0$ und $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (erf (x)) - erf (x) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $erf (x)$ von $erf (x)$ .

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 4

$\int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$ ist ein spezielles Integral. Das Integral ist die Fehlerfunktion.

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} erf (x)]_{0}^{t}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $erf (x)$ bei $t$ und $0$ .

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} (erf (x)) - erf (x)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $erf (x)$ von $erf (x)$ .

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} 0$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $0$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- \infty$ annähert.

$0 + lim_{t \to \infty} 0$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $0$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$0 + 0$

Schritt 6.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0$