Analysis Beispiele

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 x$ heraus.

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 13$ um als $- 1$ plus $- 12$

$3 x^{2} + (- 1 - 12) x + 4 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 1 x - 12 x + 4 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 1 x) - 12 x + 4 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Schritt 7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 27 x + 54$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 27 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ heraus.

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 6, - 3$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Schritt 7.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 9

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 10

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 3$

Schritt 12

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{1}{3}, 4$

$x = 6, 3$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{1}{3}, 4, 6, 3$

Schritt 14

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ .

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Schritt 14.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Schritt 14.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 14.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 27 x + 54$ heraus.

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Schritt 14.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Schritt 14.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 27 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Schritt 14.2.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Schritt 14.2.1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Schritt 14.2.1.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ heraus.

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Schritt 14.2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 14.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 14.2.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 6, - 3$

Schritt 14.2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Schritt 14.2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Schritt 14.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 14.2.3

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.3.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 14.2.3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 14.2.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 14.2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 14.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 3$

Schritt 14.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 15

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 16

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 16.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 16.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 4}{3 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 + 54} \leq 0$

Schritt 16.1.3

Die linke Seite $0.\overline{074}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 16.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{3} < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{3} < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 16.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 {(2)}^{2} - 13 \cdot 2 + 4}{3 {(2)}^{2} - 27 \cdot 2 + 54} \leq 0$

Schritt 16.2.3

Die linke Seite $- 0.8\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 16.3

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3.5$

Schritt 16.3.2

Ersetze $x$ durch $3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 {(3.5)}^{2} - 13 \cdot 3.5 + 4}{3 {(3.5)}^{2} - 27 \cdot 3.5 + 54} \leq 0$

Schritt 16.3.3

Die linke Seite $1.2\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 16.4

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 16.4.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 {(5)}^{2} - 13 \cdot 5 + 4}{3 {(5)}^{2} - 27 \cdot 5 + 54} \leq 0$

Schritt 16.4.3

Die linke Seite $- 2.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 16.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 16.5.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 {(8)}^{2} - 13 \cdot 8 + 4}{3 {(8)}^{2} - 27 \cdot 8 + 54} \leq 0$

Schritt 16.5.3

Die linke Seite $3.0\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 16.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{3}$ Falsch

$\frac{1}{3} < x < 3$ Wahr

$3 < x < 4$ Falsch

$4 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < \frac{1}{3}$ Falsch

$\frac{1}{3} < x < 3$ Wahr

$3 < x < 4$ Falsch

$4 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 17

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{3} \leq x < 3$ oder $4 \leq x < 6$

Schritt 18

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[\frac{1}{3}, 3) \cup [4, 6)$

Schritt 19