Analysis Beispiele

$\frac{3 x}{- 4 x + 4} \geq 8$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $- 4 x + 4$ .

$\frac{3 x}{- 4 x + 4} (- 4 x + 4) = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\frac{3 x}{- 4 x + 4} (- 4 x + 4)$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 4$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{3 x}{4 (- x) + 4} (- 4 x + 4) = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2.1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{3 x}{4 (- x) + 4 (1)} (- 4 x + 4) = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (1)$ heraus.

$\frac{3 x}{4 (- x + 1)} (- 4 x + 4) = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{3 x}{4 (- x + 1)}$ mit $- 4 x + 4$ .

$\frac{3 x (- 4 x + 4)}{4 (- x + 1)} = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4 x + 4$ und $4$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $3 x (- 4 x + 4)$ heraus.

$\frac{4 (3 x (- x + 1))}{4 (- x + 1)} = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2.1.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 x (- x + 1))}{4 (- x + 1)} = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x (- x + 1)}{- x + 1} = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 1$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x (- x + 1)}{- x + 1} = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2.1.1.4.2

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$3 x = 8 (- 4 x + 4)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $8 (- 4 x + 4)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x = 8 (- 4 x) + 8 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$3 x = - 32 x + 8 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$3 x = - 32 x + 32$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $32 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + 32 x = 32$

Schritt 3.1.2

Addiere $3 x$ und $32 x$ .

$35 x = 32$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $35 x = 32$ durch $35$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $35 x = 32$ durch $35$ .

$\frac{35 x}{35} = \frac{32}{35}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $35$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{35 x}{35} = \frac{32}{35}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{32}{35}$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x}{4 (- x + 1)} - 8$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x}{4 (- x + 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 (- x + 1) = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (- x + 1) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (- x + 1) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (- x + 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- x + 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Dividiere $- x + 1$ durch $1$ .

$- x + 1 = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$- x + 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 4.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{32}{35}$

$\frac{32}{35} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{32}{35}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{32}{35}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (0)}{- 4 \cdot 0 + 4} \geq 8$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{32}{35} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{32}{35} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.96$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.96$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (0.96)}{- 4 \cdot 0.96 + 4} \geq 8$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $18$ ist größer als die rechte Seite $8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (4)}{- 4 \cdot 4 + 4} \geq 8$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{32}{35}$ Falsch

$\frac{32}{35} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < \frac{32}{35}$ Falsch

$\frac{32}{35} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{32}{35} \leq x < 1$

Schritt 8

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[\frac{32}{35}, 1)$

Schritt 9