Analysis Beispiele

$y = x - x^{2}$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = - x^{2} + x$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(- x^{2} + x)}^{2}$ als $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ um.

$V = (- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - x^{2} (- x^{2} + x) + x (- x^{2} + x)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2} + x)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = x^{4} - x^{1 + 2} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$V = x^{4} - x^{3} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = x^{4} - x^{3} - x \cdot x^{2} + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.1.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = x^{4} - x^{3} - x^{2 + 1} + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x \cdot x$

Schritt 2.3.1.8

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x^{2}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $x^{3}$ von $- x^{3}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ und $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Schritt 10.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 10.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1^{3}}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.3

Um $\frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.4

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{3 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{3 + 5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.7

Addiere $3$ und $5$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 10.2.3.9.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.9.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 10.2.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} + 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.14

Addiere $\frac{8}{15}$ und $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 10.2.3.16

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}))$

Schritt 10.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 10.2.3.17.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}))$

Schritt 10.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.17.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Schritt 10.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Schritt 10.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}))$

Schritt 10.2.3.17.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - 0))$

Schritt 10.2.3.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} + 0))$

Schritt 10.2.3.19

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4}))$

Schritt 10.2.3.20

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 2}{4})$

Schritt 10.2.3.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 10.2.3.21.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 (- 1)}{4})$

Schritt 10.2.3.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.21.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 10.2.3.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 10.2.3.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 1}{2})$

Schritt 10.2.3.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{8}{15} - \frac{1}{2})$

Schritt 10.2.3.23

Um $\frac{8}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 10.2.3.24

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Schritt 10.2.3.25

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $30$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.3.25.1

Mutltipliziere $\frac{8}{15}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Schritt 10.2.3.25.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Schritt 10.2.3.25.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{2 \cdot 15})$

Schritt 10.2.3.25.4

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{30})$

Schritt 10.2.3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{8 \cdot 2 - 15}{30})$

Schritt 10.2.3.27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.27.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$V = π (\frac{16 - 15}{30})$

Schritt 10.2.3.27.2

Subtrahiere $15$ von $16$ .

$V = π (\frac{1}{30})$

Schritt 10.2.3.28

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{30}$ .

$V = \frac{π}{30}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{π}{30}$

Dezimalform:

$V = 0.10471975 \dots$

Schritt 12