Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 5$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \sqrt{x - 1}$

Schritt 2

Schreibe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ als $x - 1$ um.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = x - 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

$V = x - 1$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + - x]_{1}^{5})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}$ und $- x]_{1}^{5}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{5}$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2} - x$ bei $5$ und $1$ .

$V = π ((\frac{5^{2}}{2} - 1 \cdot 5) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 1 \cdot 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.2.2.3

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.2.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{25 - 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$V = π (\frac{25 - 10}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.2.2.6.2

Subtrahiere $10$ von $25$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.2.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

Schritt 7.2.2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Schritt 7.2.2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Schritt 7.2.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Schritt 7.2.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

Schritt 7.2.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{- 1}{2})$

Schritt 7.2.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Schritt 7.2.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.2.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{15 + 1}{2})$

Schritt 7.2.2.17

Addiere $15$ und $1$ .

$V = π (\frac{16}{2})$

Schritt 7.2.2.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 7.2.2.18.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2})$

Schritt 7.2.2.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Schritt 7.2.2.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Schritt 7.2.2.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{8}{1})$

Schritt 7.2.2.18.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$V = π \cdot 8$

Schritt 7.2.2.19

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 8 π$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = 8 π$

Dezimalform:

$V = 25.13274122 \dots$

Schritt 9