Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $a = 64$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 64$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (64) + f' (64) (x - 64)$

Schritt 3

Berechne $f (64)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $64$ .

$f (64) = {(64)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache ${(64)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1

Entferne die Klammern.

${(64)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

${(4^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4^{2}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $64$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 4.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Schritt 4.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.7

Vereinfache.

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Schritt 4.1.7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $64$ .

$\frac{2}{3 {(64)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$\frac{2}{3 \cdot {(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3 \cdot 4^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 4.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3 \cdot 4^{1}}$

Schritt 4.3.1.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{2}{12}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{12}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6}$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 16 + \frac{1}{6} (x - 64)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = 16 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 64$ heraus.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Schritt 6.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Schritt 6.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

Schritt 6.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 32$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

Schritt 6.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

Schritt 6.2

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Schritt 6.3

Kombiniere $16$ und $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{48 - 32}{3}$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $32$ von $48$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

Schritt 7