Analysis Beispiele

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} - \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + \frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3.5

Kombiniere $\frac{- 3}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 2.1.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + \frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3.6.2.4

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} - x^{2} - (2 x)$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{3} - x^{2} - 2 x$ .

$x^{3} - x^{2} - 2 x$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{3} - x^{2} - 2 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{3} - x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- x) - 2 x = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- x)$ heraus.

$x (x^{2} - x) + x \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - x) + x \cdot - 2$ heraus.

$x (x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 1$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 2, - 1$ .

$0, 2, - 1$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = - 8 - {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - 8 - 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- 2) = - 8 - 4 - 2 \cdot - 2$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 8 - 4 + 4$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $- 8$ .

$f' (- 2) = - 12 + 4$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 12$ und $4$ .

$f' (- 2) = - 8$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 8$ .

$- 8$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- 8$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{3} - {(- \frac{1}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} - {(- \frac{1}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1^{3}}{2^{3}} - {(- \frac{1}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2^{3}} - {(- \frac{1}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - {(- \frac{1}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.6

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1.6.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.6.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 7.2.1.6.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} + {(- 1)}^{3} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{1^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{1}{2^{2}} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 7.2.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2})$

Schritt 7.2.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2}))$

Schritt 7.2.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 1 \cdot - 1$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 1$

Schritt 7.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + 1$

Schritt 7.2.2.3

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 7.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Schritt 7.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Schritt 7.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{8}{8}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 2 + 8}{8}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 8}{8}$

Schritt 7.2.4.2

Addiere $- 3$ und $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5}{8}$

Schritt 7.3

Bei $x = - \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $\frac{5}{8}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = {(1)}^{3} - {(1)}^{2} - 2 \cdot 1$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 1 - {(1)}^{2} - 2 \cdot 1$

Schritt 8.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = 1 - 1 - 2 \cdot 1$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (1) = 1 - 1 - 2$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f' (1) = 0 - 2$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f' (1) = - 2$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 2$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = {(3)}^{3} - {(3)}^{2} - 2 \cdot 3$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (3) = 27 - {(3)}^{2} - 2 \cdot 3$

Schritt 9.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = 27 - 1 \cdot 9 - 2 \cdot 3$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f' (3) = 27 - 9 - 2 \cdot 3$

Schritt 9.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (3) = 27 - 9 - 6$

Schritt 9.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $27$ .

$f' (3) = 18 - 6$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $18$ .

$f' (3) = 12$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$12$

Schritt 9.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $12$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 1, 0), (2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (0, 2)$

Schritt 11