Analysis Beispiele

$x {(2 x - 3)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe $x {(2 x - 3)}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x {(2 x - 3)}^{2} d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x - 3$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{u}{2}$ mit $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 6.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{u^{3}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\int \frac{u^{3}}{4} + \frac{3 u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{u^{3}}{4} + \frac{3 u^{2}}{4} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int \frac{3 u^{2}}{4} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int \frac{3 u^{2}}{4} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{3 u^{2}}{4} d u$

Schritt 10

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{3}{4} \int u^{2} d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} u^{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{16} u^{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{16} u^{4} + \frac{3}{4 \cdot 3} u^{3} + C$

Schritt 12.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{16} u^{4} + \frac{3}{12} u^{3} + C$

Schritt 12.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 12.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{16} u^{4} + \frac{3 (1)}{12} u^{3} + C$

Schritt 12.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{16} u^{4} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{3} + C$

Schritt 12.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{16} u^{4} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{3} + C$

Schritt 12.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{16} u^{4} + \frac{1}{4} u^{3} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 3$ .

$\frac{1}{16} {(2 x - 3)}^{4} + \frac{1}{4} {(2 x - 3)}^{3} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{16} {(2 x - 3)}^{4} + \frac{1}{4} {(2 x - 3)}^{3} + C$