Analysis Beispiele

$y = (x^{2} - 120) e^{x}$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 120 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$ um.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $2 x e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x} = 0$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 120 e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

Schritt 4.1.1.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ heraus.

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120$ heraus.

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 120) = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 120$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 120$ und deren Summe $2$ ist.

$- 10, 12$

Schritt 4.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$e^{x} ((x - 10) (x + 12)) = 0$

Schritt 4.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 12 = 0$

Schritt 4.3

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 4.3.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 4.3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 4.4

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 4.5

Setze $x + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 12$ gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$ wahr machen.

$x = 10, - 12$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ bei $x = 10$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f (10) = {(10)}^{2} e^{10} - 120 e^{10}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f (10) = 100 e^{10} - 120 e^{10}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $120 e^{10}$ von $100 e^{10}$ .

$f (10) = - 20 e^{10}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 20 e^{10}$ .

$- 20 e^{10}$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ bei $x = - 12$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 12$ .

$f (- 12) = {(- 12)}^{2} e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$f (- 12) = 144 e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = 144 (\frac{1}{e^{12}}) - 120 e^{- 12}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $144$ und $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 e^{- 12}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 \frac{1}{e^{12}}$

Schritt 6.2.1.5

Kombiniere $- 120$ und $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} + \frac{- 120}{e^{12}}$

Schritt 6.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - \frac{120}{e^{12}}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 12) = \frac{144 - 120}{e^{12}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $120$ von $144$ .

$f (- 12) = \frac{24}{e^{12}}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{24}{e^{12}}$ .

$\frac{24}{e^{12}}$

Schritt 7

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ sind $y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$ .

$y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$

Schritt 8