Analysis Beispiele

$f (x) = 16 \sqrt{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$16 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.10

Kombiniere $16$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{16 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2.11

Kombiniere $- 8$ und $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 8 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2.12

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.13

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4 \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 3.11

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{4 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2}$

Schritt 3.12

Multipliziere.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{5}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.2

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.13

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 (x^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 3.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = \frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ als ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ um.

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}]$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $x^{- \frac{7}{2}}$ und $\frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

Schritt 4.11

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$\frac{- 6 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

Schritt 4.12

Multipliziere.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$\frac{- 30 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

Schritt 4.12.2

Bringe $x^{- \frac{7}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.13

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{7}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (x^{\frac{7}{2}})}$

Schritt 4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 15}{x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$