Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \arctan (x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \arctan (x^{2})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + x^{4}}$ und $5$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} (2 x)$

Schritt 1.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{1 + x^{4}} x$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10}{1 + x^{4}} x$

Schritt 1.3.4.3

Kombiniere $\frac{10}{1 + x^{4}}$ und $x$ .

$\frac{10 x}{1 + x^{4}}$

Schritt 1.3.4.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{10 x}{x^{4} + 1}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10 x}{x^{4} + 1}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x^{4} + 1$ mit $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $x^{4}$ .

$10 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Kombiniere $10$ und $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $10$ aus $- 30 x^{4} + 10$ heraus.

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Schritt 2.7.3.1

Faktorisiere $10$ aus $- 30 x^{4}$ heraus.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.3.2

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.3.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)$ heraus.

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$\frac{10 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{10 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{10 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.7

Schreibe $- (3 x^{4} - 1)$ als $- 1 (3 x^{4} - 1)$ um.

$\frac{10 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$