Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{7}{3}} + 56 x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{7}{3}} + 56 x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $56$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $56 x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $56 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.3.7

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $56$ und $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{56 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $56$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{7}{3}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{7}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{224}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{224}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $\frac{224}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Schritt 2.3.11

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$