Analysis Beispiele

$\sin (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Schreibe $\sin (\frac{x}{2})$ als Funktion.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 2.1.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 2.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.1.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 2.1.2.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Schritt 2.2.3.3

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 2.2.3.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Schritt 2.2.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Schritt 2.2.3.5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Schritt 2.2.3.5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π - 0)$

Schritt 2.2.3.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.5.2.2.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = 2 π$

Schritt 2.2.3.6

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 2.2.3.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.3.6.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.2.3.6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 2.2.3.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 2.2.3.7

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Schritt 5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Schritt 5.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

Schritt 5.2.1.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

Schritt 5.2.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$f'' (0) = - 0$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6