Analysis Beispiele

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{2}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 (2 x)$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$12 x (x^{2}) - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $12 x$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 48 x = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $12 x$ aus $48 x$ heraus.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 12 x (4) = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x)$ heraus.

$12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4) = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4)$ heraus.

$12 x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$12 x (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$12 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$12 x {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 2$ .

$0, 2$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 \cdot 1 + 48 (- 1)$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 48$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 + 48 (- 1)$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $48$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 - 48$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $48$ von $- 12$ .

$f' (- 1) = - 60 - 48$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $48$ von $- 60$ .

$f' (- 1) = - 108$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 108$ .

$- 108$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 108$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 12 - 48 \cdot 1 + 48 (1)$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 48$ mit $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48 (1)$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $48$ von $12$ .

$f' (1) = - 36 + 48$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 36$ und $48$ .

$f' (1) = 12$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$12$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $12$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 12 {(3)}^{3} - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (3) = 12 \cdot 27 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $27$ .

$f' (3) = 324 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = 324 - 48 \cdot 9 + 48 (3)$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 48$ mit $9$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 48 (3)$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $48$ mit $3$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 144$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $432$ von $324$ .

$f' (3) = - 108 + 144$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 108$ und $144$ .

$f' (3) = 36$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $36$ .

$36$

Schritt 8.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $36$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, 2), (2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 10