Analysis Beispiele

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.5.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $\frac{7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.5

Kombiniere $\frac{28}{2}$ und $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $2$ .

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Schritt 2.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $28 x^{3}$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6.2.4

Dividiere $14 x^{3}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $\frac{71}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{71}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.5

Kombiniere $\frac{213}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $213$ und $3$ .

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Schritt 2.1.4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $213 x^{2}$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6.2.4

Dividiere $71 x^{2}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.5.1

Da $77$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $77 x^{2}$ nach $x$ gleich $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.6

Berechne $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Schritt 2.1.6.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120 x$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Schritt 2.1.6.3

Mutltipliziere $120$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Schritt 3.2.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.2.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{4} + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 3.2.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 3.2.1.3.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$16 + 14 \cdot - 8 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 3.2.1.3.4

Mutltipliziere $14$ mit $- 8$ .

$16 - 112 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 3.2.1.3.5

Subtrahiere $112$ von $16$ .

$- 96 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 3.2.1.3.6

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 96 + 71 \cdot 4 + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 3.2.1.3.7

Mutltipliziere $71$ mit $4$ .

$- 96 + 284 + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 3.2.1.3.8

Addiere $- 96$ und $284$ .

$188 + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 3.2.1.3.9

Mutltipliziere $154$ mit $- 2$ .

$188 - 308 + 120$

Schritt 3.2.1.3.10

Subtrahiere $308$ von $188$ .

$- 120 + 120$

Schritt 3.2.1.3.11

Addiere $- 120$ und $120$ .

$0$

Schritt 3.2.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120}{x + 2}$

Schritt 3.2.1.5

Dividiere $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ durch $x + 2$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Schritt 3.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Schritt 3.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 3.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 3.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

Schritt 3.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Schritt 3.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Schritt 3.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Schritt 3.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{3} + 24 x^{2}$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Schritt 3.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

Schritt 3.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Schritt 3.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $47 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Schritt 3.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Schritt 3.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $47 x^{2} + 94 x$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Schritt 3.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

Schritt 3.2.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Schritt 3.2.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $60 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Schritt 3.2.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Schritt 3.2.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $60 x + 120$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Schritt 3.2.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

$0$

Schritt 3.2.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$

Schritt 3.2.1.6

Schreibe $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Schritt 3.2.2.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.2.2.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

${(- 3)}^{3} + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 3.2.2.3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 27 + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 3.2.2.3.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 27 + 12 \cdot 9 + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 3.2.2.3.4

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$- 27 + 108 + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 3.2.2.3.5

Addiere $- 27$ und $108$ .

$81 + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 3.2.2.3.6

Mutltipliziere $47$ mit $- 3$ .

$81 - 141 + 60$

Schritt 3.2.2.3.7

Subtrahiere $141$ von $81$ .

$- 60 + 60$

Schritt 3.2.2.3.8

Addiere $- 60$ und $60$ .

$0$

Schritt 3.2.2.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60}{x + 3}$

Schritt 3.2.2.5

Dividiere $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ durch $x + 3$ .

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Schritt 3.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

Schritt 3.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$

Schritt 3.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 3.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 3.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Schritt 3.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Schritt 3.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Schritt 3.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Schritt 3.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x^{2} + 27 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Schritt 3.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$

Schritt 3.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Schritt 3.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Schritt 3.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							+	$20 x$	+	$60$

Schritt 3.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 x + 60$

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$

Schritt 3.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$
										$0$

Schritt 3.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 9 x + 20$

Schritt 3.2.2.6

Schreibe $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 9 x + 20)) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $9$ ist.

$4, 5$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) ((x + 3) ((x + 4) (x + 5))) = 0$

Schritt 3.2.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) ((x + 3) (x + 4) (x + 5)) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.7

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 3, - 4, - 5$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 2, - 3, - 4, - 5$ .

$- 2, - 3, - 4, - 5$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 4) \cup (- 4, - 3) \cup (- 3, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = {(- 6)}^{4} + 14 {(- 6)}^{3} + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f' (- 6) = 1296 + 14 {(- 6)}^{3} + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f' (- 6) = 1296 + 14 \cdot - 216 + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $14$ mit $- 216$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 71 \cdot 36 + 154 (- 6) + 120$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $71$ mit $36$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 2556 + 154 (- 6) + 120$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $154$ mit $- 6$ .

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 2556 - 924 + 120$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $3024$ von $1296$ .

$f' (- 6) = - 1728 + 2556 - 924 + 120$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 1728$ und $2556$ .

$f' (- 6) = 828 - 924 + 120$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $924$ von $828$ .

$f' (- 6) = - 96 + 120$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $- 96$ und $120$ .

$f' (- 6) = 24$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 6.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $24$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 5)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, - 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9}{2}$ an.

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{9}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{9^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = 1 (\frac{9^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{9^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{9^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $9$ mit $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{2^{4}} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9}{2}$ an.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{9}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{9^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{9^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.8

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{729}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{729}{8}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (\frac{- 729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 (7) (\frac{- 729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.10.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 729}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 729}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.10.5

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 7 (\frac{- 729}{4}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.11

Kombiniere $7$ und $\frac{- 729}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + \frac{7 \cdot - 729}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.12

Mutltipliziere $7$ mit $- 729$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + \frac{- 5103}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.14

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.14.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9}{2}$ an.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.14.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (1 (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.16

Mutltipliziere $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.17

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{81}{2^{2}}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.18

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{81}{4}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.19

Multipliziere $71 (\frac{81}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.19.1

Kombiniere $71$ und $\frac{81}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{71 \cdot 81}{4} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.19.2

Mutltipliziere $71$ mit $81$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.20.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{2}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 154 (\frac{- 9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.20.2

Faktorisiere $2$ aus $154$ heraus.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 2 (77) (\frac{- 9}{2}) + 120$

Schritt 7.2.1.20.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 9}{2})) + 120$

Schritt 7.2.1.20.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 77 \cdot - 9 + 120$

Schritt 7.2.1.21

Mutltipliziere $77$ mit $- 9$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} - 693 + 120$

Schritt 7.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{9}{2}) = - 693 + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{- 5103 + 5751}{4}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 5103$ und $5751$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - 693 + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Schritt 7.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $- 693$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693}{1} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 693}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 693}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Schritt 7.2.3.4

Schreibe $120$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Schritt 7.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{120}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Schritt 7.2.3.6

Mutltipliziere $\frac{120}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{648}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{648}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 7.2.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648 \cdot 4}{16}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $- 693$ mit $16$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 120 \cdot 16 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $120$ mit $16$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 1920 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

Schritt 7.2.5.3

Mutltipliziere $648$ mit $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 1920 + 6561 + 2592}{16}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.6.1

Addiere $- 11088$ und $1920$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 9168 + 6561 + 2592}{16}$

Schritt 7.2.6.2

Addiere $- 9168$ und $6561$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 2607 + 2592}{16}$

Schritt 7.2.6.3

Addiere $- 2607$ und $2592$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 15}{16}$

Schritt 7.2.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{15}{16}$

Schritt 7.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{15}{16}$ .

$- \frac{15}{16}$

Schritt 7.3

Bei $x = - \frac{9}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{15}{16}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 5, - 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 5, - 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- \frac{7}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{7}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{7^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 1 (\frac{7^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{7^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{7^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.4

Potenziere $7$ mit $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{2^{4}} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.8

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{343}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{343}{8}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (\frac{- 343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 (7) (\frac{- 343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.10.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 343}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 343}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.10.5

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 7 (\frac{- 343}{4}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.11

Kombiniere $7$ und $\frac{- 343}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{7 \cdot - 343}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.12

Mutltipliziere $7$ mit $- 343$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{- 2401}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.14

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.14.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.14.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.16

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.17

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{49}{2^{2}}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.18

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{49}{4}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.19

Multipliziere $71 (\frac{49}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.19.1

Kombiniere $71$ und $\frac{49}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{71 \cdot 49}{4} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.19.2

Mutltipliziere $71$ mit $49$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.20.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{2}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 154 (\frac{- 7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.20.2

Faktorisiere $2$ aus $154$ heraus.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 2 (77) (\frac{- 7}{2}) + 120$

Schritt 8.2.1.20.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 7}{2})) + 120$

Schritt 8.2.1.20.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 77 \cdot - 7 + 120$

Schritt 8.2.1.21

Mutltipliziere $77$ mit $- 7$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} - 539 + 120$

Schritt 8.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 539 + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{- 2401 + 3479}{4}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 2401$ und $3479$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 539 + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Schritt 8.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Schreibe $- 539$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539}{1} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 539}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 539}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Schritt 8.2.3.4

Schreibe $120$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Schritt 8.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{120}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Schritt 8.2.3.6

Mutltipliziere $\frac{120}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

Schritt 8.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{1078}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 8.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{1078}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 8.2.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078 \cdot 4}{16}$

Schritt 8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

Schritt 8.2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.5.1

Mutltipliziere $- 539$ mit $16$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 120 \cdot 16 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

Schritt 8.2.5.2

Mutltipliziere $120$ mit $16$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 1920 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

Schritt 8.2.5.3

Mutltipliziere $1078$ mit $4$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 1920 + 2401 + 4312}{16}$

Schritt 8.2.6

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.1

Addiere $- 8624$ und $1920$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 6704 + 2401 + 4312}{16}$

Schritt 8.2.6.2

Addiere $- 6704$ und $2401$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 4303 + 4312}{16}$

Schritt 8.2.6.3

Addiere $- 4303$ und $4312$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{9}{16}$

Schritt 8.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{16}$ .

$\frac{9}{16}$

Schritt 8.3

Bei $x = - \frac{7}{2}$ ist die Ableitung $\frac{9}{16}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 4, - 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 4, - 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- \frac{5}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 1 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{5^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.4

Potenziere $5$ mit $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{2^{4}} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.8

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{125}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{125}{8}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (\frac{- 125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 (7) (\frac{- 125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.10.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 125}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 125}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.10.5

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 7 (\frac{- 125}{4}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.11

Kombiniere $7$ und $\frac{- 125}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + \frac{7 \cdot - 125}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.12

Mutltipliziere $7$ mit $- 125$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + \frac{- 875}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.14

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.14.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.14.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.16

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.17

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{25}{2^{2}}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.18

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{25}{4}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.19

Multipliziere $71 (\frac{25}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.19.1

Kombiniere $71$ und $\frac{25}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{71 \cdot 25}{4} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.19.2

Mutltipliziere $71$ mit $25$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.20.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 154 (\frac{- 5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.20.2

Faktorisiere $2$ aus $154$ heraus.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 2 (77) (\frac{- 5}{2}) + 120$

Schritt 9.2.1.20.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 5}{2})) + 120$

Schritt 9.2.1.20.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 77 \cdot - 5 + 120$

Schritt 9.2.1.21

Mutltipliziere $77$ mit $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} - 385 + 120$

Schritt 9.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{5}{2}) = - 385 + 120 + \frac{625}{16} + \frac{- 875 + 1775}{4}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $- 875$ und $1775$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - 385 + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Schritt 9.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Schreibe $- 385$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385}{1} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 385}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Schritt 9.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 385}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Schritt 9.2.3.4

Schreibe $120$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Schritt 9.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{120}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Schritt 9.2.3.6

Mutltipliziere $\frac{120}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{900}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 9.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{900}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 9.2.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900 \cdot 4}{16}$

Schritt 9.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

Schritt 9.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.5.1

Mutltipliziere $- 385$ mit $16$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 120 \cdot 16 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

Schritt 9.2.5.2

Mutltipliziere $120$ mit $16$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 1920 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

Schritt 9.2.5.3

Mutltipliziere $900$ mit $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 1920 + 625 + 3600}{16}$

Schritt 9.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.6.1

Addiere $- 6160$ und $1920$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 4240 + 625 + 3600}{16}$

Schritt 9.2.6.2

Addiere $- 4240$ und $625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 3615 + 3600}{16}$

Schritt 9.2.6.3

Addiere $- 3615$ und $3600$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 15}{16}$

Schritt 9.2.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{15}{16}$

Schritt 9.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{15}{16}$ .

$- \frac{15}{16}$

Schritt 9.3

Bei $x = - \frac{5}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{15}{16}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 3, - 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 3, - 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{4} + 14 {(- 1)}^{3} + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- 1) = 1 + 14 {(- 1)}^{3} + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = 1 + 14 \cdot - 1 + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Schritt 10.2.1.3

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

Schritt 10.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 \cdot 1 + 154 (- 1) + 120$

Schritt 10.2.1.5

Mutltipliziere $71$ mit $1$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 + 154 (- 1) + 120$

Schritt 10.2.1.6

Mutltipliziere $154$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 - 154 + 120$

Schritt 10.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $14$ von $1$ .

$f' (- 1) = - 13 + 71 - 154 + 120$

Schritt 10.2.2.2

Addiere $- 13$ und $71$ .

$f' (- 1) = 58 - 154 + 120$

Schritt 10.2.2.3

Subtrahiere $154$ von $58$ .

$f' (- 1) = - 96 + 120$

Schritt 10.2.2.4

Addiere $- 96$ und $120$ .

$f' (- 1) = 24$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 10.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $24$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 5), (- 4, - 3), (- 2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 5, - 4), (- 3, - 2)$

Schritt 12