Analysis Beispiele

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

Schritt 1.3

Stelle die Terme um.

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $- 8 \ln (2)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

Schritt 1.5.4

Potenziere $2$ mit $8$ .

$- \ln (256) + 2 (3)$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \ln (256) + 6$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \ln (256) + 6$ und einen gegebenen Punkt $(3, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.4.1.1

Multipliziere $- \ln (256) \cdot - 3$ .

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Schritt 2.3.1.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4.1.1.2

Vereinfache $3 \ln (256)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4.1.2

Potenziere $256$ mit $3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Schritt 2.3.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ um.

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $18$ von $1$ .

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

Schritt 2.3.4

Schreibe die Gleichung als $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ um.

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

Schritt 2.3.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.5.1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

Schritt 2.3.5.2

Addiere $17$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

Schritt 2.3.6

Teile jeden Ausdruck in $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.6.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (x \ln (256))$ als $- (x \ln (256))$ um.

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.3.1.4

Dividiere $\ln (16777216)$ durch $1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.3.1.5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 6 x}{- 1}$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot (- 6 x)$ als $- (- 6 x)$ um.

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.3.1.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

Schritt 2.3.6.3.1.8

Dividiere $17$ durch $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

Schritt 2.3.7

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.7.1

Bewege $\ln (16777216)$ .

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Schritt 2.3.7.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (256)$ heraus.

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Schritt 2.3.7.3

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

Schritt 2.3.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ heraus.

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

Schritt 2.3.7.5

Stelle $x$ und $- 1 \ln (256) + 6$ um.

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

Schritt 3