Analysis Beispiele

${(\sqrt[6]{x})}^{3}$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt[6]{x})}^{3}$ als Funktion.

$f (x) = {(\sqrt[6]{x})}^{3}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(\sqrt[6]{x})}^{3} d x$

Schritt 4

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe ${(\sqrt[6]{x})}^{3}$ als $\sqrt{x}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{x}$ als $x^{\frac{1}{6}}$ neu zu schreiben.

$\int {(x^{\frac{1}{6}})}^{3} d x$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} \cdot 3} d x$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $3$ .

$\int x^{\frac{3}{6}} d x$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int x^{\frac{3 (1)}{6}} d x$

Schritt 4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

Schritt 4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$\int \sqrt{x} d x$

Schritt 4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(\sqrt[6]{x})}^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$