Analysis Beispiele

$\sec (x) (\sec (x) + \tan (x))$

Schritt 1

Schreibe $\sec (x) (\sec (x) + \tan (x))$ als Funktion.

$f (x) = \sec (x) (\sec (x) + \tan (x))$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.2.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$\tan (x) + C + \sec (x) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$\tan (x) + \sec (x) + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sec (x) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \sec (x) + C$