Analysis Beispiele

$x^{3} \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $x^{3} \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{3 + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{6 + 1}{2}} d x$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $6$ und $1$ .

$\int x^{\frac{7}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{7}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Schritt 6

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{3} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$