Analysis Beispiele

$x^{\frac{22}{7}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{22}{7}$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22}{7} - 1}$

Schritt 1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{22}{7} x^{\frac{22 - 1 \cdot 7}{7}}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22 - 7}{7}}$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $7$ von $22$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{15}{7}}$

Schritt 1.6

Kombiniere $\frac{22}{7}$ und $x^{\frac{15}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{22 x^{\frac{15}{7}}}{7}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{22}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{22 x^{\frac{15}{7}}}{7}$ nach $x$ gleich $\frac{22}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{15}{7}}]$ .

$\frac{22}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{15}{7}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{15}{7}$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15}{7} - 1})$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15 - 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15 - 7}{7}})$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $7$ von $15$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{8}{7}})$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{15}{7}$ und $x^{\frac{8}{7}}$ .

$\frac{22}{7} \cdot \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{22}{7}$ mit $\frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7}$ .

$\frac{22 (15 x^{\frac{8}{7}})}{7 \cdot 7}$

Schritt 2.9

Multipliziere.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $15$ mit $22$ .

$\frac{330 x^{\frac{8}{7}}}{7 \cdot 7}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$f'' (x) = \frac{330 x^{\frac{8}{7}}}{49}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{330}{49}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{330 x^{\frac{8}{7}}}{49}$ nach $x$ gleich $\frac{330}{49} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{7}}]$ .

$\frac{330}{49} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{7}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{8}{7}$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8}{7} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8 - 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8 - 7}{7}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{1}{7}})$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{8}{7}$ und $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{330}{49} \cdot \frac{8 x^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $\frac{330}{49}$ mit $\frac{8 x^{\frac{1}{7}}}{7}$ .

$\frac{330 (8 x^{\frac{1}{7}})}{49 \cdot 7}$

Schritt 3.9

Multipliziere.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $8$ mit $330$ .

$\frac{2640 x^{\frac{1}{7}}}{49 \cdot 7}$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $49$ mit $7$ .

$f''' (x) = \frac{2640 x^{\frac{1}{7}}}{343}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $\frac{2640}{343}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2640 x^{\frac{1}{7}}}{343}$ nach $x$ gleich $\frac{2640}{343} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$ .

$\frac{2640}{343} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}})$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$\frac{2640}{343} \cdot \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{2640}{343}$ mit $\frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$ .

$\frac{2640 x^{- \frac{6}{7}}}{343 \cdot 7}$

Schritt 4.10

Multipliziere.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $343$ mit $7$ .

$\frac{2640 x^{- \frac{6}{7}}}{2401}$

Schritt 4.10.2

Bringe $x^{- \frac{6}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{2640}{2401 x^{\frac{6}{7}}}$