Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 1)}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Schritt 1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Schritt 1.3

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 3.8

Die Ableitung von $\log_{2} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} (x \ln (2))$

Schritt 5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1} \ln (2)$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{x}{x + 1}$ und $\ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (2)}{x + 1}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\ln (2)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}$

Schritt 7

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

Schritt 8.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\ln (2) \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Schritt 8.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Schritt 8.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 8.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\ln (2) \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + 0}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Schritt 10.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2) \cdot 1$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\ln (2)$