Analysis Beispiele

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{5}}{10}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $\frac{5}{10}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{4}}{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.4

Kombiniere $\frac{4}{8}$ und $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 2.1.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{4}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.2.4

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.2.5.2.4

Dividiere $2 x^{3}$ durch $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x^{3} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Schritt 2.2.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Schritt 2.2.3.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x^{2} (2 x) + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{3 x^{2}}{2}$ heraus.

$x^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{3}{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{3}{2}$ heraus.

$x^{2} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $2 x + \frac{3}{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 x + \frac{3}{2}$ gleich $0$ .

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $2 x + \frac{3}{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $\frac{3}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{3}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{3}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.3.2

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.5.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.2.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{3}{4}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{5}}{10} + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{10} + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $0$ durch $10$ .

$f (0) = 0 + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{0}{8} + 2$

Schritt 4.1.2.1.4

Dividiere $0$ durch $8$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = 2$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ ermittelt werden kann, ist $(0, 2)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 2)$

Schritt 4.3

Ersetze $- \frac{3}{4}$ in $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{{(- \frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{4}$ an.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{{(- 1)}^{5} {(\frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- {(\frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{3^{5}}{4^{5}}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{243}{4^{5}}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.1.5

Potenziere $4$ mit $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{243}{1024}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{1024} \cdot \frac{1}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.3

Multipliziere $- \frac{243}{1024} \cdot \frac{1}{10}$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{243}{1024}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10 \cdot 1024} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $1024$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{4}$ an.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{3^{4}}{4^{4}})}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.4.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{81}{4^{4}})}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.4.5

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{81}{256})}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.4.6

Mutltipliziere $\frac{81}{256}$ mit $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{\frac{81}{256}}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.6

Multipliziere $\frac{81}{256} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 4.3.2.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{81}{256}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{256 \cdot 8} + 2$

Schritt 4.3.2.1.6.2

Mutltipliziere $256$ mit $8$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{2048} + 2$

Schritt 4.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{81}{2048}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{2048} \cdot \frac{5}{5} + 2$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{81}{2048}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + 2$

Schritt 4.3.2.2.3

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2}{1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{10240}{10240}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2}{1} \cdot \frac{10240}{10240}$

Schritt 4.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{10240}{10240}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Schritt 4.3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $2048 \cdot 5$ um.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{5 \cdot 2048} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Schritt 4.3.2.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $2048$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{10240} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 81 \cdot 5 + 2 \cdot 10240}{10240}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.4.1

Mutltipliziere $81$ mit $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 405 + 2 \cdot 10240}{10240}$

Schritt 4.3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $10240$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 405 + 20480}{10240}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.5.1

Addiere $- 243$ und $405$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{162 + 20480}{10240}$

Schritt 4.3.2.5.2

Addiere $162$ und $20480$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{20642}{10240}$

Schritt 4.3.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20642$ und $10240$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $20642$ heraus.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 (10321)}{10240}$

Schritt 4.3.2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10240$ heraus.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 10321}{2 \cdot 5120}$

Schritt 4.3.2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 10321}{2 \cdot 5120}$

Schritt 4.3.2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{10321}{5120}$

Schritt 4.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{10321}{5120}$ .

$\frac{10321}{5120}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{3}{4}$ in $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 2), (- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{3}{4}) \cup (- \frac{3}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{3}{4})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.85$ .

$f'' (- 0.85) = 2 {(- 0.85)}^{3} + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.85$ mit $3$ .

$f'' (- 0.85) = 2 \cdot - 0.614125 + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.614125$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 0.85$ mit $2$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{3 \cdot 0.7225}{2}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $0.7225$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{2.1675}{2}$

Schritt 6.2.1.5

Dividiere $2.1675$ durch $2$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + 1.08375$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 1.22825$ und $1.08375$ .

$f'' (- 0.85) = - 0.1445$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.1445$ .

$- 0.1445$

Schritt 6.3

Bei $- 0.85$ , die zweite Ableitung ist $- 0.1445$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{3}{4})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{3}{4})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{3}{4}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.375$ .

$f'' (- 0.375) = 2 {(- 0.375)}^{3} + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 0.375$ mit $3$ .

$f'' (- 0.375) = 2 \cdot - 0.05273437 + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.05273437$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $- 0.375$ mit $2$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{3 \cdot 0.140625}{2}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $0.140625$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{0.421875}{2}$

Schritt 7.2.1.5

Dividiere $0.421875$ durch $2$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + 0.2109375$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 0.10546875$ und $0.2109375$ .

$f'' (- 0.375) = 0.10546875$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.10546875$ .

$0.10546875$

Schritt 7.3

Bei $- 0.375$ ist die zweite Ableitung $0.10546875$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{3}{4}, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{3}{4}, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 2 {(0.1)}^{3} + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = 2 \cdot 0.001 + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{3 \cdot 0.01}{2}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{0.03}{2}$

Schritt 8.2.1.5

Dividiere $0.03$ durch $2$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + 0.015$

Schritt 8.2.2

Addiere $0.002$ und $0.015$ .

$f'' (0.1) = 0.017$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.017$ .

$0.017$

Schritt 8.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.017$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$ .

$(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Schritt 10