Analysis Beispiele

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 9$ und $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 81$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ und deren Summe gleich $b = - 18$ ist.

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Schritt 2.1.3.5.1.1

Faktorisiere $- 18$ aus $- 18 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.1.2

Schreibe $- 18$ um als $- 9$ plus $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.3.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.3.6.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.3

Wende die Produktregel auf $(x + 9) (x - 9)$ an.

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.2

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (9)$ heraus.

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.4

Schreibe $- (x + 9)$ als $- 1 (x + 9)$ um.

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.5

Potenziere $x + 9$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.6

Potenziere $x + 9$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 9)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ als ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 9$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 9$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 9$ .

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ mit $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

Schritt 2.2.4.7.2

Addiere $2 {(x - 9)}^{- 3}$ und $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 3.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte