Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Schritt 3.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ und differenzierbar im Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ und differenzierbar im Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 7.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Löse $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$ .

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Kombinieren.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

Schritt 8.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Schritt 8.2.2.1.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 8.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Schritt 8.2.2.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Schritt 8.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Schritt 8.2.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Schritt 8.2.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Schritt 8.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Schritt 8.2.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

Schritt 8.2.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Schritt 8.2.2.1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Schritt 8.2.2.1.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

Schritt 8.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.2.1.4.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

Schritt 8.2.2.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Schritt 8.2.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

Schritt 8.2.2.1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Schritt 8.2.2.1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

Schritt 8.2.2.1.4.4

Dividiere $0$ durch $π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Schritt 8.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 8.5

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 8.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 8.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 8.7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 8.7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 8.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.7.2.2.1

Vereinfache $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 8.7.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 8.7.2.2.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 8.7.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 8.7.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.7.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 8.7.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Schritt 8.7.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 π - π$

Schritt 8.7.2.2.1.6

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = 3 π$

Schritt 8.8

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 8.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 8.8.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 8.9

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Es gibt eine Tangente bei $x = π + 2 π n$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = \frac{π}{2}$ und $b = \frac{3 π}{2}$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = π + 2 π n$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = \frac{π}{2}$ und $b = \frac{3 π}{2}$ verläuft

Schritt 10